[미분방정식] 0. 미분방정식 개요

미분방정식이란?

종속변수를 독립변수에 대해 미분한 도함수를 포함하는 방정식으로

주어진 미분방정식을 만족하는 독립변수와 종속변수 사이의 관계를 해로 갖는 방정식이다.

즉, 일반적인 방정식에서는 x의 값을 해로 구한다 치면 미분방정식에서는 종속변수 y나 u(편미방)를 해로 갖는 방정식이라 할수 있다.

이러한 미분방정식을 풀기 위해 우선 유형,계수,선형성에 따라 여러가지 미분방정식으로 분류하게 된다.

 

유형에 따라서는 크게 상미분방정식과 편미분방정식으로 나눌수 있는데

 

상미분방정식 = Ordinary Differential Equation = 줄여서 ODE

독립변수가 한개로 이루어져있는 미분방정식

편미분방정식 = Partial Differential Equation = 줄여서 PDE

독립변수가 2개이상 존재하는 미분방정식

다음은 계수​에 따라 나누는 방법인데 가장 큰 계수를 기준으로 명명한다

추가적으로 (최고 계수 도함수) 의 차수에 따라 1차, 2차, 3차, ... n차 미분방정식이라 표현할수 있다.

마지막으로 선형성에 따라 분류하는 방법이 있다.

선형성이란 대충 말하자면 직선으로 쭉 뻗어나가는 성질을 말하는데, 함수에서 선형성을 가지는지 안가지는지 판단하는 방법은 매우 간단하다.

 

이므로 첫번째 조건부터 탈락 -> 비선형이라고 할수있다.

1차를 제외한 n차식은 전부 선형성을 만족시키지 않고 비선형을 띄게되는데

처음 언급했다시피 선형성 = 직선으로 쭉 뻗어나가는 성질 이므로

1차 함수 그래프와 n차 함수 ( n≠1인 정수 // 분수함수 포함 )

그래프를 그려보면 왜 그렇게 되는지 이해할수 있을것이다. 직선형(선형) vs 곡선형(비선형)

 

그럼 미분방정식에서 선형성이란 무엇인가?

막상 저 선형성을 판단하는 두개의 조건을 사용하려고 해보면 f가 뭐고 x가 뭔지 판단하기 힘들것이다.

하지만 위에서 언급했다시피 상미분방정식에서 해는 종속변수를 독립변수로 표현하는꼴 즉, 종속변수 y이기 때문에

 

정리하면 우리는 미분방정식을 보는순간

독립변수의 개수에 따라 상미방, 편미방을 나눈뒤

계수와 계수의 차수에 따라 n계n차임을 알아내고

마지막으로 선형성을 만족하는지에 따라 선형미분방정식인지 비선형미분방정식인지를 판단할수 있어야한다.

 

Why??

​미분방정식을 풀기위한 해법들을 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 이라 하고

미분방정식의 종류를 a,b,c,d,e,f,g,h,i,j 라 두면

a를 풀기 위해서는 1을 써야되고

b를 풀기 위해서는 2를 써야되고

...

j를 풀기 위해서는 10을 써야하는 식이기 때문에

미분방정식을 구분하지 못하면 해법 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10을 다 알고있다 쳐도

a를보고 b로 판단하고 2로 풀면 ?? 하는 상황이 나오기때문이다.

따라서 정확한 미분방정식 풀이를 위해서는 분류틀을 확실히 파악해야한다!!

(물론 예시를 위해서 일대일 대응을 했지만 a를 풀기위한 기법들은 3~4가지씩 있을수 있다.)

 

분류틀을 확실히 다졌다면 이제 수많은 미분방정식을 풀기위해서

변수분리,적분인자,전미분,계수낮추기,미분연산자,미정계수법,매개변수변환법,코시오일러미방,

적분연산자,라플라스변환,푸리에급수,베셀급수,르장드르급수,푸리에적분,푸리에변환 등등등

수많은 기법들을 공부해야한다...

(★★★ 편미분방정식은 종류별 방정식 form이 정해져있기때문에

          이러한 계수,차수,선형성에 따른 분리보다는 form을 알아두는 편

          즉, 처음 상미분/편미분을 가른뒤 이후 상미분일경우 추가적으로 계수,차수,선형성을 따져 분류하고

          편미분방정식일 경우에는 그냥 미분방정식 모양으로 어떠한 종류의 편미분방정식인지 판단하고 풀면 된다.)