[미분방정식] 4. 적분인자를 이용한 완전미분방정식

자, 저번시간까지 우리는 완전미분방정식이 무엇이고 어떻게 푸는지에 대해 알아보았다.

전미분꼴을 하고있는 특수한 케이스일 경우 사용할수 있는 제한적인 방법이지만, 이번시간에 적분인자​라는 요소를 도입하여

전미분꼴을 하고있지 않은 평범한 경우에도 완전미분방정식 풀이법을 적용할수 있게 확장할 것 이다.

(즉, 전미분꼴x 미분방정식에 적분인자를 곱하여, 전미분꼴로 변형하고 전미분꼴=완전미분방정식이므로 이후 저번시간에 배운 방법으로 풀면 끝!)

아직 뭔소린지 감이 안잡히겠지만, 설명을 천천히 보다보면 충분히 이해할수 있으니 걱정 ㄴㄴ~

자 그럼 적분인자에 대해 공부해보겠다.

적분인자란?

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지금 우리가 배우고있는 미분방정식은 상미분방정식이므로, 변수가 종속변수 y 와 독립변수 x 만 존재한다.

그리하여 적분인자를 이루는 변수 요소가 x,y 두가지 이지만, x,y 두가지 변수가 적분인자에 있는 경우는 굉장히 복잡하므로

우리가 적분인자를 공부할때는 적분인자가 x로만 이루어진 경우와 y로만 이루어져있는 경우만 공부하면 된다.

 

자 여기서 의문점이 하나 있을텐데, 도대체 적분인자가 x만으로 이루어져있는지 어떻게 판단하는가? 이다.

수학적 센스가 있는 사람은 바로 아래부분에서 번쩍 했을것이다.

 

이번에는 적분인자가 y로만 이루어진 함수일 경우에 대해 공부해보겠다.

 

 

마찬가지로, 적분인자가 y만으로 이루어져있는지 아닌지 판단여부는 다음과 같다.

 

 

Q)적분인자가 x,y 2변수로 이루어져있으면 어떡함??

A)걱정 ㄴㄴ// 일단 거의 안나오고, 일단 나온다 하더라도 학부수준에서는 이변수로 이루어진 적분인자를 쌩으로 구하라고 주진 않고

형태를 정해서 주기때문에, 그 형태 그대로 곱해준다음 완전미분방정식 필요충분조건을 이용하여 러프한 형태를 다듬는 방식으로 출제된다.

 

자 그럼 마지막으로 알고리즘을 다듬고, 예제를 풀고 마무리 하겠다.

 

알고리즘이 완성되었으면 바로 예제 풀고 마무리 들어가겠다.

 

 

자 여기까지 적분인자를 이용한 완전미분방정식 풀이법을 다루었다.

적분인자가 y로만 이루어졌을때의 예제와 적분인자가 x,y로 이루어졌을때는 어떻게 나오는지

눈으로 확실히 보여주고 싶어서 첨부하려 하였으나, 글이 너무 길어지는 바람에 생략하였다.

하지만 본문 내용으로 충분하므로 적분인자가 x로만 이루어졌을때의 방식 그대로 적분인자가 y로 이루어졌을때

에 적용할수 있고 그에 대한 알고리즘도 첨가하였으므로 똑똑한 독자님들은 충분히 할수있으리라 믿는다.

적분인자가 x,y로 나오는 문제는 거의 없으므로 그냥 신경 끄고 있어도 되긴 하지만

위에 적었다시피 나온다 하더라도 form 자체를 제시해주기 때문에 ( 학부수준에서는 직접 구할방법이 없다! )

그 form 을 곱해주어 완전미분방정식 필요충분조건을 적용하면 form 이 알아서 구체적인 함수로 변형이 된다.

(성균관대에서 기출문제로 나온적이 있음)

다음에는 전미분꼴을 암기하여 바로 미문방정식의 해를 구하는 방법에 대해 다루겠다!!!