[미분방정식] 3. 전미분, 완전미분방정식

자, 오늘도 완전미분방정식이라는 특수케이스에 대해 배울것이다.

완전미분방정식이 무엇인지 알아보기 전에, 먼저 전미분에 대해 알아야할 필요가 있다.

 

​전미분이란? 

​대학미적분학(Calculus) 에서 배운 개념으로, 2변수 혹은 그 이상의 다중변수에서

전체함수를 각 성분에 대해 미분한 결과값

 

증명과 내포하는 의미를 따지는것은 여기선 제끼겠다.

왜냐하면 이 글의 테마는 미분방정식, 즉 완전미분방정식이 무엇인가를 알아보기 위함인데,

완전미분방정식에서 필요한 전미분은 증명과 의미가 아니라 저 모양(form)이 필요한것이기 때문이다.

(특히, 상미분방정식에서는 2변수 전미분 공식)

반드시 저 공식은 눈에 익혀두길 바란다. 예시 하나 첨부할테니 확인해볼 것.

 

자 이제 완전미분방정식이 무엇인지 알아보자.

 

​완전미분방정식이란? 

즉, 전미분이 왜 나오는가?(증명), 전미분값이 내포하는 의미는?(내용)은 전혀 필요하지 않다.

그냥 전미분 공식 모양으로 나올경우, 미분하기 전모양인 f(x,y)=C 꼴로 되돌릴수 있기 때문에,

모양맞추기 느낌을 기억하면 될것이다.

그렇다면 이제 완전미분방정식이라면 해를 손쉽게 구할수 있긴 한데, 완전미분방정식임을 판단할수 있는 장치가 필요할것이다.

완전미분방정식을 푸는건 어렵지 않지만, 완전미분방정식인지를 모른다면 풀 수 없기 때문.

자 이로써 완전미분방정식이 무엇인가, 또 완전미분방정식인지 아닌지를 어떻게 판단하는가 에대해 알아보았다.

그렇다면 이제 완전미분방정식의 풀이를 익히고 예제를 풀며 오늘 내용을 마무리 하겠다.

 

 

마지막 예제를 보고 마치겠다.

 

다음 시간에는, 완전미분방정식이 아닐경우 적분인자를 추가하여

완전미분방정식을 만들고 푸는 획기적인 방법에 대하여 소개하겠다.

오늘도 수고했노라!!!

마지막 정리

전미분공식 암기 -> 전미분의 의미는 필요없다!!!

( 물론 대학미적분학 수강중이면 전미분에 대한 의미를 물어본다.

 하지만 완전미분방정식에서 필요한 전미분은 의미가 아니라 공식꼴!!!! )

전미분 꼴로 표현된 미분방정식을 완전미분방정식이라고 한다 -> 완전미분방정식의 정의 가져가기

완전미분방정식 판단법 -> 필요충분조건을 통하여 판단한다 - 공식 반드시 기억

이후 dx 쪽에 있는것이 원함수를 x에 대해 편미분한 꼴이고

dy쪽에 있는것이 원함수를 y에 대해 편미분한 꼴임을 이용하여

둘중 간단한 함수를 뽑아냄 ( dx쪽이 간단하다고 가정하자 )

dx쪽에 있는 함수를 x에 대하여 편적분 - 적분상수 g(y) 생성 ( 왜냐면 y는 상수취급이니까 )

그 결과는 원함수이므로 y에대해 다시 편미분 -> dy쪽에 있는 함수와 동일해야함

이를 이용하여 g'(y)를 구하고 g(y) 를 복원하여 원함수를 표현하면 끝!!!