[미분방정식] 2. 동차함수, 동차미분방정식

이번에 배울 동차 미분방정식은 변수분리형 미분방정식과 마찬가지로 개요때 배운 분류를 사용하지 않고

동차 미분방정식이 성립하는 특수한 상황때 써먹을수 있는 강력한 방법을 소개하도록 하겠다.

개요때 배운 분류는 도대체 언제 써먹습니까? 라고 물을수 있겠다만 뒤에 요긴하게 써먹을것이니 참고 기다리자.

'동차 미분방정식 이다' 를 판단하려면 먼저 동차함수의 정의부터 알아야 한다.

 

1) ​동차함수란? 

 

무슨말인지 이해가 안된다면 다음 예시를 보도록 하자.

 

여기까지 동차함수의 정의를 알아봤고, 추가적으로 동차함수의 성질까지 알아가자.

자 그럼 이제 동차미분방정식의 정의를 알아보겠다.

​

2) 동차 미분방정식이란?? 

 

​ 

M,N이 같은 차수의 동차함수임을 판별하는순간 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 은 동차미분방정식이 되는데,

동차미분방정식은 치환에 의해 항상 변수분리형 미분방정식으로 변형을 할 수 있다.

따라서, 동차미방 판단 -> 치환 -> 변수분리형 변형 -> 변수분리형 미방 풀기 알고리즘으로 접근하면 간단하다.

그럼 어떤걸 치환해야 변수분리형으로 바꿀수 있을까?

​

이후로는 어케푸는지 알제?

당연히 결과를 외우는것이 아니라 이 풀이과정을 익혀서 적용시키면 된다. ( 외우는 뻘짓 ㄴㄴ)

다음으로는

​

마찬가지로 결과를 외우면 안되고 과정을 익혀 문제에 적용하면된다. 바로 예제 들어가도록 하겠다.

​​

자, 여기까지 동차 미분방정식이였다.

사실 x=vy 치환꼴 방식으로 한문제 더 풀어볼 예정이였는데 예상외로 글이 길어져서 이만 줄이겠다.

y=ux 치환꼴 풀이와 똑같으니 알아서 풀어볼 것!! 언제 시간나면 ex2)로 x=vy꼴 치환 문제 하나 추가하겠다.

 

추가)) 동차미분방정식은 이후에 배울 완전미분방정식이랑 어느정도 바운더리가 겹칠수 있다.

예를 들자면 완전미분방정식으로 나온문제에서 M 과 N이 동차함수를 만족할때

완전미분방정식 방식대로 풀어도 답이 나오고

동차미분방정식 방식대로 풀어도 답이 나올수 있다.

이는 미분방정식 개요편에서 설명했다시피 a,b,c,d,e,f,g,h,i,j 라는 미분방정식 종류에

해법이 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 이 있을때 일대일 대응으로 접근하는게 아니라

a -> 1,5,8 방식으로 풀수있음 // 이런식이기 때문이다.

따라서 다음시간에 완전미분방정식 예제로 나올 문제는 그 테마에 맞춰 풀건데, ( 완미방으로)

동차함수로도 풀수있는 예제이므로 지금 배운 동차함수를 활용하고 싶다면

4편 적분인자 편으로 가서 예제만 한번 풀어보는걸 추천한다.

같은문제를 여러가지 다른 방식으로 풀어보는 연습은 실력향상에 아주 좋은 습관이다 ㅇㅇ

 

 

 

ps) 마지막 정리내용

Mdx+Ndy=0 에서 M과 N 이 동차함수임을 판단 -> 동차미분방정식임을 알아냄

동차미분방정식은 치환에 의해 변수분리형 미분방정식으로 변형가능

M이 N보다 복잡한경우 -> y=ux 로 치환

N이 M보다 복잡한경우 -> x=vy 로 치환

이후 식변형을 통하여 x,u 에 관한 변수분리형 미분방정식 혹은 y,v 에 관한 변수분리형 미분방정식을 얻을수 있다.

변수분리형 미분방정식 풀이법은 1편을 참조하면 간단하게 알수 있으므로 해결!